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Parte AEdit

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Exercício E15 da Lista 2Edit

Determine c_1, c_2, c_3 de modo que a integral assuma o menor valor possível:

item cEdit

\int_{-\pi}^{\pi} \left[ |cos(x)| - c_1 - c_2 sen(x) - c_3 cos(x) \right]^2 dx = A

A = 2\pi vezes o erro quadrático médio entre f(x) = |cos(x)| e g(x) = c_1 + c_2 sen(x) + c_3 cos(x) (polinômio trigonométrico de ordem 1)

Pelo teorema (erro quadrático médio mínimo) o erro é mínimo se os coeficientes de g forem os coeficientes da n-ésima soma de Fourier de f.

Calculemos: a_0, a_1 e b_1

a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |cos(x)| dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi}  |cos(x)| dx =

(Obs: |cos(x)| é par)


 = \frac{2}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^{\pi/2} cos(x) dx - \int_{\pi/2}^{\pi} cos(x) dx \right] = \frac{2}{\pi} \left( sen(x) |_0^{\pi/2} - sen(x) |_{\pi/2}^{\pi} \right) = \frac{4}{\pi}

a_0 = \frac{4}{\pi} e c_1 deve ser \frac{a_0}{2}, portanto, c_1 = \frac{2}{\pi} (a resposta da lista está errada)

b_1 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) sen(x)dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |cos(x)| sen(x)dx = 0

OBS: |cos(x)| sen(x) é ímpar

Parte BEdit

INCOMPLETO Esta parte ainda está sendo transcrita.

A função


f(x) = |cos (x)|, -\pi \leq x \leq \pi


é par e sua série de Fourier tem só cossenos:


b_n = \frac {1}{\pi} \int _ {-\pi} ^ {\pi} |cos(x)| sen(nx) dx = 0


A série é:


\frac {a_0}{2} + \sum a_k cos(kx)


 a_n = \frac {2}{\pi} \int _ {0} ^ {\pi} |cos(x)| cos(kx) dx =  
\frac {2}{\pi} [\int _ {0} ^ {\frac{\pi}{2}} |cos(x)| cos(kx)dx - \int _ {\frac{\pi}{2}} ^ {\pi} |cos(x)| cos(kx)dx]


(para k > 1) (a_1=0 já foi feito)


\int cos(x)cos(x)dx = \int \frac{1}{2}[cos(1+k)x + cos(1-k)x]dx = \frac{1}{2} [\frac{sen(1+k)}{1+k} + \frac{sen(1-k)}{1-k}] + C


Mas,


cos(1+k)x = cos(x)cos(kx) - sen(x)sen(kx)


e


cos(1-k)x = cos(x)cos(kx) + sen(x)sen(kx).


Chega-se a:


a_n = 0, se k ímpar;

a_n = \frac{4}{\pi} \frac{(-1)^{n-1}}{4n^{2}-1}, se k par;


sendo a_0 = \frac {4}{\pi}


A série de Fourier de |cos(x)| é


\frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{\pi}\frac{(-1)^{n-1}}{4n^{2}-1}cos(2nx)


Ela coincide com a série de cossenos de |cos(x)|, 0 \leq x \leq \pi.

Lista Exercício 11, ítem e:

Cossenos e Senos de f(x) = |cos(x)|, 0 \leq x \leq \pi.


Senos = \sum b_k sen(kx)


b_k = \frac{2}{\pi} \int _{0}^{\pi} |cos(x)|sen(x) dx = \frac{2}{\pi}[\int _{0}^{\frac{\pi}{2}} cos(x)sen(kx)dx - \int _{\frac{\pi}{2}}^{\pi} cos(x)sen(kx)dx]

b_1 = ..... = \frac{2}{\pi}

Parte CEdit

b_k = 0, se k for par;

b_k = \frac{1}{\pi}\frac{2n-1+(-1)^{n}}{n^{2}-n}, se k = 2n-1;

A série de senos é \frac{2}{\pi}sen(x) + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\pi}\frac{2n-1+(-1)^{n}}{n^{2}-n}sen(2n-1)x

Convergência da série de cossenos:

- Para f em ]0,\pi[ (contínua, derivável por partes até segunda ordem);

- Para a extensão par de f em ]-\pi,\pi[;

Obs: extensão par não acrescenta saltos

Em R: a série converge para a extensão periódica de período 2\pi, da extensão:

grafico de f(x) = |cos(x)|

Extensão par:

grafico de f(x) = |cos(x)| - extensão par

Extensão da extensão par:

grafico de f(x) = |cos(x)| - extensão da extensão par

Série de senos converge:

Em ]0,\pi[ para a função f(x) = |cos(x)|;

Em ]-\pi,\pi[-{0} para a extensão ímpar;

Parte DEdit

Em R: para a extensão periódica, de período 2\pi, da extensão ímpar.

Em x = 0, x = \pi e x = -\pi: converge para a média do salto que, no caso de extensão ímpar é zero.

f(x) = |cos(x)|

grafico de f(x) = |cos(x)|

Extensão ímpar

grafico de f(x) = |cos(x)| - extensão ímpar

Extensão da extensão ímpar

grafico de f(x) = |cos(x)| - extensão da extensão ímpar

Lista 2 exercício 4

a) Dê fórmulas para as constantes a_n e b_n tais que:

\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}{\infty}(a_{n}cos(nx) + b_{n}sen(nx)) = x^{2}e^{x};

b) Soma de série para x = \frac{11\pi}{2} e x = 11\pi.

Obs: não fazer as contas. Lidar com convergências.

a) A função f(x) = x^{2}e^{x}, -\pi \leq x \leq \pi, é de classe C^{2} e pelo Teorema de Fourier a série trigonométrica que converge para f é exatamente a série de Fourier. Ou seja, para que valha a igualdade, os coeficientes têm que ser:

Fórmulas:

a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^{2}e^{x}dx

a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^{2}e^{x}cos(nx)dx

b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^{2}e^{x}sen(nx)dx

Parte EEdit

Com os coeficientes a_n e b_n do ítem anterior a série converge para f em ]-\pi,\pi[ pois f é contínua aí.

Nos extremos x = \pi ou -\pi a série converge para a média do salto:

\frac{1}{2}[lim_{x - -\pi_{+}}f(x) + lim_{x - \pi} f(x)] =

\frac{1}{2}[\pi^{2}e^{-\pi} + \pi^{2}e^{\pi}] =

Em [-\pi,\pi] a soma é:

Gráfico

Em 11\pi, a soma é igual à soma em x = \pi, logo, é igual a \frac{1}{2}(e^{-\pi} + e^{\pi})

Extensão periódica:

Gráfico

Temos \frac{11\pi}{2} = \frac{-\pi}{2} + 6.2\pi.

e portanto, o valor de soma em x = \frac{11\pi}{2} é o mesmo de x = -\frac{\pi}{2}, -\pi < -\frac{\pi}{2} < \pi.

\sum (\frac{11\pi}{2}) = \sum(\frac{-\pi}{2}) = f(\frac{-\pi}{2}) = (\frac{-\pi}{2})^{2}e^{\frac{-\pi}{2}}.

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