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USP/MAT-2456/aula B-1

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AvisoEdit

MonitoriaEdit

das 11h às 13h

  • Sandra: 2.as e 4.as
  • Nestor: 3.as e 5.as

Neste Bloco de aulasEdit

Falaremos sobre:

  • Séries de Taylor
  • Séries de Fourier

AulaEdit

Série de PotênciasEdit

\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n

R: raio de convergência |x| < R: a série converge absolutamente |x| > R: a série diverge

Vale: derivação e integração termo a termo

f(x) = \sum c_n x^n, |x| < R ((f(x) é a soma da série))

Por enquanto, temos que a série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}x^n converge, se |x| < 1, para f(x) = \frac{1}{1-x}

Ou seja, \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n, |x| <1

A partir dela, encontramos soma de outras séries.

Por exemplo:

1)

\frac{x}{1+x^7}= x\frac{1}{1-(-x^7)} = x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{7n+1}, |x|<1

2)

\frac{x}{(1-x)^a}=g(x). Observe que Failed to parse (lexing error): f´(x)= \frac{d}{dx} ( \frac{1}{(1-x)^2} )

é a soma da série geométrica derivada termo a termo: \frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} e daí g(x) = \frac{x}{(1-x)^2}= \sum_{n=1}^{\infty} n x^n, |x| < 1

Séries de TaylorEdit

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