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Transformada de Hartley

Carla Belarmino


Resumo Edit

Este trabalho apresenta a Transforma (Discreta) de Hartley (DHT), com as equações, aplicações que foi desenvolvidas a partir dela. Será desenvolvido sua implementação na linguagem Python e com alguns resultados aplicados em imagens.

Introdução Edit

A Transformada Discreta de Hartley (DHT) é uma versão discretizada da transformada integral formulada por Hartley em 1942 e definida por Bracewell em 1983. Tendo como aplicações iniciais o cálculo eficiente da Transformada de Fourier (DFT) e em óptica (interferometria). A transformada de Hartley foi utilizada em diversas aplicações como por exemplo [1]:

  • Compressão de imagens biométricas
  • Sistemas de comunicação utilizando multiportadora (OFDM) e acesso múltiplo (CDMA).
  • Modems ADSL.

Nas próximas subseções serão descritos alguns trabalhos científicos que utilizaram a DHT.

Um algoritmo Bifuncional para Avaliação dos Espectros de Hardamard e Hartley Edit

Neste trabalho realizado por Cintra [2] introduz um algoritmo para o calculo das transformadas discretas de Hartley e de Hadamard, realizando sua implementação em hardware utilizando somadores em paralelo [1].

Algoritmo para Criptografia de Voz implementado em Tempo real em processador de sinais Edit

No trabalho realizado por Nascimento e Toscano [3], é implementado um sistema de criptografia de voz baseado em permuta pseudo-aleatória de bandas de freqüências no domínio transformado. Optou utilizar a DHT em vez da DFT, pelo fator que a primeira é mais eficiente computacionalmente e com similaridade no que diz respeito às propriedades.

Organização do trabalho Edit

Este trabalho está organizado da seguinte forma:

  • Seção 3: Apresentação da DHT
  • Subseção 3.1: contem o pseudocódigo da DHT
  • Seção 4: Será mostrada uma aplicação que utilizada a DHT
  • Seção 5: Apresentação dos resultados da aplicação da DHT em varias imagens.

Transformada de Hartley Edit

A Transformada Discreta de Hartley mapeia uma seqüência real de comprimento N amostras em uma outra seqüência também real e de comprimento N no domínio das freqüências [Bracewell, 1983 apud Nascimento, 2004]. Analogamente a Transformada Discreta de Fourier que pode ser implementada por meio de algoritmo rápido conhecido como FFT (do inglês, Fast Fourier Transform) a Transformada Discreta de Hartley também pode ser implementada via algoritmo rápido conhecido com FHT (do inglês, Fast Hartley Transform). Como a FFT a FHT é uma ferramenta matemática/computacional para analise de freqüências de sinais, porém é uma operação linear. A FHT possui um esforço computacional proporcional a NlogN como a FFT [Nascimento, 1990 apud Nascimento, 2004], porém, envolve somente operações reais. A DHT relaciona dois vetores V V e é definido por [Bracewell, 1986 apud Sobral Cintra, 2002]:

Formula1

onde Formu2. Está formula pode ser escrita também na forma de matriz:

Formu3

onde HN é a matriz de Hartley, cujos elementos hk,i são da forma Formula4.

Implementação Edit

A implementação da DHT foi realizada de duas formas, de acordo com as duas formulas descrita na seção 3. A primeira foi realizada pelo método linear, ou seja, transformando a matriz da imagem em um vetor, e em cima deste vetor aplicando a formula 1. O segundo método de implementação foi pela formula descrita em forma de matriz, ou seja, foi calculado a matriz HN e em seguida multiplicada pela imagem, resultando na imagem transformada.

#Implementação por vetores
def hartley(f):
    
    from Numeric import *
    from ia636 import *

    #Primeiro transforma-se a matrix(imagem f) em um vetor
    f_v = ravel(f)    

    #Declara-se uma variavel N com numero total de posicoes do vetor
    N = f_v.shape[0]

    #Cria-se o vetor V da Transformada de Hartley
    V = zeros(f_v.shape)

    #Variveis que auxiliam no calculo de V
    v_soma = 0.0
    cas = 0.0

    #Para cada posição de V calcula-se o somatorio de f_v[i]
    #multiplicando cada f_v[i] pelo coseno e seno de ((2*pi*k*i)/N)    
    Para k=0 até N:  #armazena no vetor V
        Para i até N: #somatoria de toda imagem
            cas = cos((2*pi*k*i)/N) + sin((2*pi*k*i)/N)
            v_soma = v_soma + (f_v[i] * cas)
        V[k] = v_soma

    #retorna o vetor V, com o resultado da transformada
    return V

#Implementação por matrizes
def hartley_m(f):
    from Numeric import *
    from ia636 import *

    #Declaração de N sendo como total de pixels da imagem
    N = f.shape[0]*f.shape[1]

    #Declarão de uma matrix H do tamanho da imagem
    H = zeros(f.shape)
    #Declaração de uma matrix V igual a H
    V = H

    #Para cada H[k,i] calcula-se cos((2*pi*k*i)/N) + sin((2*pi*k*i)/N)
    Para k=0 até f.shape[0]:
        Para i=0 até f.shape[1]:
            H[k,i] = cos((2*pi*k*i)/N) + sin((2*pi*k*i)/N)

    #Multiplica-se a matrix H com a imagem f
    V = f * H

    #Retorna a imagem resultade da transformada
    return V

Aplicação Edit

Ilustração de ao menos uma aplicação que utiliza esta transformada...

Resultados Edit

A Transformada de Hartley foi aplicada em duas figuras, ou seja, na primeira figura foi aplicado em forma de vetores e na segunda em forma de matrizes.

DHT vetorial Edit

Na figura abaixo foi aplicado a DHT vetorial, como pode ser visto, no primeiro quadro tem-se a imagem original, no segundo tem-se a DHT da imagem.

Chev

DHT matricial Edit

Na figura abaixo foi aplicado a DHT vetorial, como pode ser visto, no primeiro quadro tem-se a imagem original, no segundo tem-se a matriz de Hartley (H) e no ultimo tem-se o resultado da multiplicação da imagem original f pela matriz H.

Astablet

Conclusões Edit

A Transformada Discreta de Hartley é semelhante à Transformada Discreta de Fourier, ou seja, uma ferramenta matemática/computacional para analisar as freqüências de sinais. Além disso, com relação os pontos positivos/negativos deste trabalho, a implementação poderia ser melhor desenvolvida, pelo fator do tempo de processamento (levando em consideração o tamanho da imagem). Os resultados encontrados com a implementação foram satisfatórios.

Referências Edit

[1] Bracewell, R.N.; The Hartley Transform, Oxford, 1986.

[2] Bracewell, R.N.; Discrete Hartley Transform. Opt. Amer, vol 73, no. 12, pp.1832-1835, Dec. 1983.

[3] Nascimento, F.A. O.; Toscano, R. G. Algoritmo para Criptografia de Voz Implementado em Tempo Real em Processador de Sinais. IV Congresso Brasileiro de Computação – CBComp 2004.

[4] Nascimento, F.A. & Malvar; Sarmento H. Computer Program for DHT - Appendice A.6 of Discrete Cossine Transform – Algorithms and Applications, R. K. Rao & P. Yio, Academic Press, 1990, pp. 417-421.

[5] Sobral Cintra, R. J. de; Oliveira, H.M. de; Campello de Souza, R.M.; Um Algoritmo Bifuncional dos Espectros de Hadamard e Hartley. Grupo de Pesquisa em Comunicações (CODEC), Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 2002.

[6] Sobral Cintra, R. J. de; Oliveira, H.M. de; Campello de Souza, R.M.; Kauffman, A. N. A Transformada Aritmética de Hartley. Grupo de Pesquisa em Comunicações (CODEC), Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 2000.

Anexo Edit

#Implementação vetorial 
def hartley(f):
    '''
    Entrada:
        f -> imagem em niveis de cinza
    Saida:
        g -> DHT da imagem
    '''
    from Numeric import *
    from ia636 import *

    #transformando a matrix(imagem f) em um vetor
    f_v = ravel(f)    

    #qtde de linhas e colunas da imagem f
    linhas = f.shape[0]
    colunas = f.shape[0]

    #numero total de posicoes do vetor
    N = f_v.shape[0]

    #criação do vetor V da Transformada de Hartley
    V = zeros(f_v.shape)
    v_soma = 0.0
    cas = 0.0
    
    #calculo de cada posição de V com relação f_vetor
    for k in range(N):  #armazena no vetor V
        for i in range(N): #somatoria de toda imagem
            cas = cos((2*pi*k*i)/N) + sin((2*pi*k*i)/N)
            v_soma = v_soma + (f_v[i] * cas)
        V[k] = v_soma

    return V

#Implementação matricial 
def hartley_m(f):
    '''
    Entrada:
        f -> imagem em niveis de cinza
    Saida:
        g -> DHT da imagem
    '''
    from Numeric import *
    from ia636 import *
    
    N = f.shape[0]*f.shape[1]
    H = zeros(f.shape)
    V = H
    for k in range(f.shape[0]): #linhas 
        for i in range(f.shape[1]): #colunas           
            H[k,i] = cos((2*pi*k*i)/N) + sin((2*pi*k*i)/N)
    iashow(H)
    V = f * H-1
    return V

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